中学2年の数学の最近のブログ記事

ひとつ下の質問に対する答えの続きです。
既に分かっていることだけを使い，新しいことがらを証明します。そしてその結果が大変便利に使えそうなので，それを「定理」とします。定理と言うのはさらに新しいことを証明するための「アイテム」になるわけです。その流れを理解して欲しいのじゃ。

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→　中2_平面図形_4の授業サンプル

質問：図形に入りました。定義とか定理とかわけが分からなくなっています。全体としてどんなことをやっていくのかも気になるのです。

答え：全体をつかもうとするその姿勢は中2の生徒にしては素晴らしく大人です! 授業の中からそれらしいところを捜してきました。

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→　中2の図形ってどんなことをするのか

一つ下の解説の続き。

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→　変化の割合，xの増加量，yの増加量(2/2)

質問：1次関数の変化の割合やxの増加量，yの増加量等の話は分かったような分からないような，なんだかしっくりしません。先生ならどんな風に説明しますか。
答え：私は1次関数の例としていつも「アルバイト」をあげます。お金の話なので，みんな興味があるからか比較的わかりやすいもようです。世の中金儲けでっせ（ウソ）。
数学の問題として出されると意味が分からず出来ない。でも生活に密着した話にすれば誰でも分かるのです。いかが。

説明が長いので途中で終わっちゃってます。続きは次の書き込みへ。

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→　変化の割合，xの増加量，yの増加量(1/2)

質問：道のり速さの問題がいつも不安です。良い方法教えてください。
答え：いつも決まった図や表を書いてみるといいのです。問題の意味が分かってくるといきなり式を書けるものなのですが，それまでは自分のやり方を見つけてください。

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→　連立方程式応用（道のり速さ）

では下の質問の問題を考えてみましょう。基本が分かればとてもカンタンです!


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→　辺の比と面積比　考え方1

質問：塾でこんな問題が出ました。説明を聞きましたが良くわかりませんでした。

図の△ABCで，BD:DC=1:2，AE:EC=3:2のとき，△ABDと△EDCの面積比を求めなさい。

神奈川県入試に出る平面図形の問題もこれまた解きやすい方です。平成21年度の神奈川県問題からそのごく一部を...

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神奈川入試7番の問題サンプル


なお、実際に受講していただく場合はもっと大きな画面で高解像度な説明が聞けます。
1回の授業分（60分から90分くらい）を見てみたい方は、infoアットマークaran.jpにメールでお知らせください。

中2生にちょうど良い問題です。高校入試にも中2で十分解ける問題が出るよ ということが分かると思います。平成20年度の神奈川県問題からそのごく一部を...

なお、神奈川入試講座の受講出来ます。1テーマ1時間から1時間30分で神奈川過去問6年分を全て解説。限りなく満点を目指す！

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→　神奈川入試3番の問題サンプル

の速さで正方形の辺上をB,C,Dの順にDまで移動する。
PがAを出発してx秒後の△APDの面積をyとするとき, yをxの式で表せ。

という問題によく出会うのですが、苦手です。点Pが辺CD上にあるときが良くわかりません。

答え：動点の基本問題です。この手の問題は何を質問されているのかが分からないと、どう答えて良いか分かりませんね。

意外に簡単です。解説を見てください。ちょっと長いので2つに分けました。毎度しつこい説明です。

質問：　
4x-3y=6
ax-y=3a
について、この連立方程式の解が方程式　5x+3y=3を満たすとき、aの値を求めなさい。

という問題が分かりません。はじめの連立方程式ってどうやって解くんですか?

答え：
はじめの連立方程式って、文字が3つあるから解けませんよね。
問題を変えましょう。連立方程式のところは同じで、後半のところだけ変えます。

4x-3y=6
ax-y=3a
について、この連立方程式の解がx=yを満たすとき、aの値を求めなさい。

だったら簡単ですね。だって、x=yってことはyはxと同じだといってるわけですから、連立方程式の１つめの式　4x-3y=6は　yの代わりにxを代入して 4x-3x=6です!
だから x=6 ってことです。　x=yだからyも6ということになり、そうなれば連立方程式の2つ目の式にx=6, y=6を代入して 6a-6=18
だから6a=24 よりa=4となります。

これを見直せば、この問題は
4x-3y=6
x=y
という連立方程式を解いて、その結果をax-y=3aに代入してaを求めた、という流れになることが分かったと思います。

ならばはじめの問題は。。。。

オンライン数学塾では原則週に1回の添削を行います。その実例の2つ目です。少しご覧ください。


◎ポッドキャスティングもあります。絵が出るiPodやiPhoneで解説を見ることが出来ます。→　添削例02

そんな学校の生徒から質問。

★質問：このような問題は基本だ、といって出されたのですが、何をどうしていいかわかりません。

★質問
塾で1次関数というのに入ったのですが、いきなり次のような問題がわかりません。

次のxとyの関係で「yがxの関数」になっているものを選びなさい。
(1) 1辺の長さがxcmの正方形の周の長さがycm
(2) 1日の昼の長さをx時間としたとき、夜の長さがy時間
(3) 郵便物の重さがx gのときの郵送料y円
(4) 郵送料をx円としたときの郵便物の重さがy g

●答え
まずは「関数」というものがどういう定義なのかをきちんと頭に入れます。
xを1つ決めれば、それにともなってyがただ１つだけ決まるょ　というのが関数の定義です。

だから...

★質問
「去年の生徒数に対して、男子 女子がそれぞれ何パーセントかずつ増えた。今年何人になったかを求めなさい」という形式の連立方程式の問題を学校でやったのですが、なんだか分かった気がしません。

●答え
去年の生徒数をx,yと置いて式を立てる問題ですね。
それは...

★質問
食塩水の濃度の問題が苦手です。コツはありますか？

●答え
コツというよりも、濃度が何なのかをちゃんと理解すれば何も難しくないんです。
濃度の基本部分について授業した1コマからどーぞ。

★質問
8%の食塩水100gと3%の食塩水100gを混ぜると何%の食塩水が出来るか
という問題で、11%の食塩水が200g出来ると答えてはいけないのはなぜですか。

●答え
3%の食塩水の立場になってください(^^)
それに8%のより濃い食塩水が混ざったら、3%よりは濃い食塩水が出来上がることが予想されますね。
今度は8%の食塩水の立場になってください。
3%のより薄い食塩水が混ざったら、8%より薄い食塩水が出来上がりますよね。

以上のことから、きっと3%と8%の間の濃度になることが予想されるんだけど、わかる？
で...

★質問
連立方程式の応用問題で、道のり-速さ-時間の問題がなかなかうまくできません。
コツを教えてください。

●答え
コツというよりもだねぇ、まず道のり、速さ、時間の関係がきちんと分かっているかが大事なんだよ。
うまく出来ない人はそれがよく分かっていない可能性が高いなぁ。

＜速さ＞ってのは単位時間あたりに進む道のりのことです。単位時間というのは、1秒や1分、1時間などです。
だから例えば時速60kmと言えば、ちょうど1時間進んだときの道のりが60kmになる速さのことなんだよ。
だから...

大きな画面で見るには　→　◎速さ,道のり,時間の基本
※再生するためのソフト、PCレターのダウンロードはこちらで　→　PCレタープレイヤー
◎new! 　ポッドキャスティング開始。画像を見ることができるiPodで解説を！→　速さ,道のり,時間の基本
...というのが連立方程式の応用問題以前の基本事項でした。

さて、連立方程式の問題としては過去の書き込みを見てね。詳しく説明してます。

★質問
50円切手と80円切手をあわせて15枚買って...という問題で、x+y=15という式をつくるのと、一方をxとして他方を15-xとするのとどちらがいいのですか？

●答え
どっちでもいいです。こういう質問をするひとはよく分かっている人だね(^^
前者は連立方程式らしい解答になるし、後者は1次方程式の解答になる。
解いてみればわかるけれど、連立方程式も1文字消去してやると、後者とおなじ1次方程式になるよね。
どちらの方法でも出来て、それが同じ意味なんだということを理解することが大事だと思うよ！

お、素朴な質問だね。でもすごくいい質問です。
関数の変化の割合って結局こういうことなんだって分かることは凄く大事なことです。 

例えばこんな説明ではどうかな？
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中2の連立方程式の問題の定番として、速さ-道のり-時間の問題があります。

峠をはさんで12km離れたA市、B市がある。上りを時速2km、下りを時速4kmで歩くとA市からB市まで4時間かかる。A市から峠まで、峠からB市までの道のりをそれぞれ求めなさい。

ぱっと見ると連立方程式の問題に見えない、こんな問題の質問が多いです。

大きいコインを１枚投入すると、大きいコインが３枚と小さいコインが１枚出て、
小さいコインを１枚投入すると、大きいコインが１枚と小さいコインが２枚出るような機械があります。

A君は何枚かの大きいコインと小さいコインを持っていて、それをこの機械にすべて入れたら、合計42枚のコインが出てきました。
さらにA君はその42枚をすべて機械に入れたら、合計150枚のコインが出てきました。

A君は最初大小のコインをそれぞれ何枚持っていましたか。

こんな機械があったらいいですね（どうでもいい事ですが、中学の数学の問題は現実に則してないのが多いなぁ）。
解説はこちらです。
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この問題、すごく良く出されますね。

ある中学校の今年の生徒数は249人いる。去年の生徒数に比べると、男子は8%増え、女子は5%減った。
全体では4人増えたという。この中学校の今年の男女別の人数を答えなさい。

解答例はこちら。かなりしつこい説明をしています。長いよ。
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連立方程式にそろそろ入ってきましたね。解き方は２つあって（消去法、代入法）初めは混乱するかもしれませんが、すぐに慣れます。うまくいかなくて悩んでいる人は練習不足が原因です。やるしかない！

結局解ければどっちで解いてもいいのです。２つの未知数がある２元連立方程式は、とにかくどちらかの１文字を消して普通の１次方程式にしてしまえばいいんですから。

さて、連立方程式を機械的に解くのは上に書いたように、誰にでも出来るようになるんですが、連立方程式の解法を知らなくても力ずくで解く根性とあれこれやってみる精神が小中学生にはとっても必要だと思うんです。あれこれ考えること自体が算数・数学だ！

ツルが何羽か、カメが何匹かいます。両方の頭の数の合計は16個、足の数の合計は42本です。 さて、ツルは何羽、カメは何匹いるか。 

解答例・解説はこちら

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中2生は中間テストが終われば、次は連立方程式ですね。
塾ではいきなり代入法とか消去法とか解法の説明をするのが普通だと思うのですが、その前に何も教えずにいわゆる鶴亀算を自力で解かせてみることが必要です。公立の小学校、中学校の生徒は鶴亀算なんてモノは知らない生徒がほとんどですが、知っている必要はありません。

ああだこうだといろいろ泥臭くてスマートでない解き方でいいから、工夫することが大事です。そのとき中学受験生に教えるように、「もし全部がカメだったら？」なんていう不自然な発想はさせません。もっと自然に... 。

数学が苦手な生徒は、先生が教えてくれた解法だけを覚えて、本来必要であるはずの頭を働かせることをせずに終わってしまいます。つまり「連立方程式」＝消去法、代入法って四角四面に教えちゃうから、使えない頭が育っちゃうんです。
整数解の連立方程式なんて、算数的思考で考えられないと使い物にならない頭になってしまうと思うんです。

紙と鉛筆と手と足と必要に応じて道具を使って算数数学を考えさせることが大事です。野山で自然と道具をうまく使って生きて行く知恵に通じるものがそこにあると私は思います。

そうやっていろいろ苦労があること知った後で、方程式の考え方を示してみせれば、数学の解法自体に感動も覚え、一生忘れない知的な財産にもなると思うわけです。
街の塾を快く思わない人はそんなことが言いたいのではないでしょうか。

中２生から質問ありました。

3の倍数かどうかを見分ける方法は、各桁の数の和が3の倍数であればその数は3の倍数です。

（例 354は3の倍数である。なぜなら3+5+4＝12で、12は3の倍数だから）

なぜそうなるのかを3桁の整数について説明しなさい。

解答のアップ遅れました。ごめんなさい！（アラン先生風邪でダウンしたよ） 解説はこちらです！ 再生ソフトPCレターをインストールしていない人は、まずこちらからどうぞ。

式による証明のことです。初めてこの話を聞くと、なぜそんなことをしなければいけないのかと思う人が多いんですね。一度その意味と成果がきちんと分かると軽く「感動！」出来るのですが。
うんと初歩的な問題はこんなのです。

奇数と奇数を足すと偶数になることを説明しなさい。

当たり前じゃないかっ　と思わないで考えてみることが大事。当たり前のことが説明できなければ、当たり前と思えないようなことは到底説明できません。これは数学として学ぶよりも、君たちが将来大人になってから「他人を説得し動かす」ときに役立つ技術でもあるのだっ。
テストのための勉強なんてくそくらえだぜっ！

奇数+奇数=偶数の解説できました。長くなっちゃいました（約21分）。

中２の数学で学ぶ、等式の変形ですが、慣れないとうまくいかないんですね。
ちょっとしたコツがあります。慣れてしまえばカンタンです。

　次の等式を[ ]内の文字について解きなさい。


まいどしつこい解説はこちら。

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中2の単項式の計算です。初心者は除法を間違いやすいですね。特に２番目のタイプ。
毎度しつこい解説ですがこちらからどうぞ。

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中2の式の計算で、分数の形の式の加減で間違いが多くなります。こんな計算です。

解説はこちらからダウンロードしてください。
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２点を通る式の求め方です。学校の教科書はy=ax+bとおいて連立方程式を解いて. . . という方法が書かれていますが、実際の試験の時それをやっていると遅いし、間違いも多くなります。
こうしましょう。慣れれば10秒で解けます。

ビデオだと細かい字がみえませんね。くっきりはっきりかつサクサク動く、PCレターでの解説はこちら。