中学数学の疑問にこたえるBLOG

★質問
平方メートルを平方センチメートルに変えなさい　なんていう問題がよくわかりません。

●答え
例えば、をに変えるという問題を考えてみよう。

大きな画面で見るには　→　◎単位の換算の基本
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★質問
ルートの計算の続きを教えてください。

●答え
次は、分母の有理化だよ。分数で分母にルートがついていたらそのルートを外すんです。

分母のルート3のルートを外すために、分母にルート3をかけます。分母にルート3をかけたので、分子にもルート3をかけます。

分母が無理数（ルートのつく数）から有理数（ルートのつかない数）になったので、この操作を分母の有理化と言います。

これからは分母にルートがついていたら、ちょっと気持ち悪いと思って、分母の有理化をしてね。

なぜそんなことをするのかと言うと ...

大きな画面で見るには　→　◎分母の有理化をする理由
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★質問
ルートの計算がよくわかりません。ポイントを教えてください。

●答え
まず、ルートの中の数をなるべく小さくすることができるようになろう。
例えて言えば、分数を約分するみたいな感覚です。4/6をそのままにしとくのは気持ちがわるいでしょ？
それと同じように2ルート12なんかもそのままでは気持ち悪いんだよ。すぐにルートの中の数を小さくできるようにしよう。ぜ。

大きな画面で見るには　→　◎ルートの中を簡単にする
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★質問
絶対値って符号をとった数と教わりましたが、なぜそんなのが必要なんですか。

●答え
絶対値というのは、向き（方向）を取り去った長さだけを表す数のことです。
よしお君の家が駅から北東の方向に2km、美代ちゃんの家は駅から西に1.5kmとするとき、絶対値とは、向きは関係なく駅からどれだけ離れているかを表す数です。
この例では美代ちゃんちの方が駅から近いとか、よしお君ちの方が遠いということになりますが、方角はまったく関係ないですよね。
駅にどれだけ近いかってのが大事なときに絶対値が生きてくるわけです。
正負の数の絶対値も、プラスマイナスは置いといて、原点からどれだけ離れているのか（=長さ）ってことが大事なときに絶対値を使うのです。向きは無視してどれだけ離れてるのかってことに注目するとき使う数なのです。
絶対値は正の値１つの量しか持っていません。

「絶対」という言葉の対語は「相対」です。相対とは相手があるとき、それと比べてどうなのかを表すときに使います。
+6は+2に比べると+4だけ大きい（相対値）。-2は+6に比べると-8大きい（または+8小さい）というように、相対値とは相手の値と比べたとき(1)どちらの方向に（向き、または符号）(2)どれだけ大きいか（小さいか）の2つの情報を持っています。

まぁあんまり難しいこと言うとかえって分からなくなるので、今はプラスマイナスの数から符号を取り去った数だとおもってもいいです（オイオイ..）
高校になるとベクトルの絶対値とか複素数の絶対値ってのが出て来ますが、やっぱりこれも「長さ」のことなのです。

★質問
50円切手と80円切手をあわせて15枚買って...という問題で、x+y=15という式をつくるのと、一方をxとして他方を15-xとするのとどちらがいいのですか？

●答え
どっちでもいいです。こういう質問をするひとはよく分かっている人だね(^^
前者は連立方程式らしい解答になるし、後者は1次方程式の解答になる。
解いてみればわかるけれど、連立方程式も1文字消去してやると、後者とおなじ1次方程式になるよね。
どちらの方法でも出来て、それが同じ意味なんだということを理解することが大事だと思うよ！

★質問
　5の平方根とルート5は同じだと思うんですが、違うと言われました。なぜですか？

●答え
　5の平方根とは2乗（＝平方）して5になる数のことだよ。
「根」というのは「解」と同じ意味だから、2乗して5になるその解はなに？って言ってるんだ。だからプラスルート5とマイナスルート5の２つがあるんだよ。
ひとつ前にも書いたけれど、初めのうちは迷うよね。いままで答えが2つ出てくるものなんか無かったから当然そう感じるんだな。

「関数」というのは１つの数字に対して１つの答えしかないのだけど、方程式の解は2つ以上出てくるものを今後あつかっていくんだよ。まぁ慣れだ。
もう少ししたら、グラフで説明をするから、そうすればもっと深く理解できるよ。

aの平方根とは「2乗してaになる数」を表します。
9の平方根は3と-3の2つがあります。
0の平方根は0の1つだけ、-9の平方根は（2乗してマイナスになる数はないので）なしです。

正の数の平方根には、上で話したように正と負の2つがあります。
だから3の平方根と√3は同じとは言えません。←3の平方根は√3と-√3の2つがあるからです。
このあたり間違えやすいんですね。

新しい学年が始まって、2週間が経ちました。
調子はどうですか？　特に数学の調子は？

ときどきこのページで、代表的な数学の問題の考え方を
動くペンと音声で説明します。

ときどき見に来てみてください。

公立高校の入試がそろそろ始まりますね。 今時の高校入試によく出る傾向として、「規則性」の問題があります。生徒からは「難しい」という声を良く聞くのですが、

「根性でやれ！」

と言っておきます。分からなければ、ひたすら書いていく。なんとしても解いてやるというキミの根性が試されている問題かも知れません 何もせずに「分からない」と放棄しないよーに。
時間がかかりますがいつかは答えが出るはずですよね。 問題によっては、思ったより時間がかからず答えに至ることが多いです。案ずるより生むが易しです。

本当に大変な問題は、その規則性を式に表して解くことになるのですが、それはまたいずれまとめて何らかの形で説明したいと思います。

対角線の長さが2cmの正方形があります。この正方形の面積を求めよ。

今日、笑っていいとものテレフォンショッキングにマリックが出ていました。そこで左手の指を使った簡単なマジックを披露していました。こんな感じです。 

左手を広げて、親指に注目。右手の人差し指を左手の親指にあてて、1,2,3,4,5と数えながら左手指の上を移動していきます。戻ってもいいから必ず隣の指に移動。飛ばして移動してはいけません。 ５を数え終わると、みんな好き勝手にやったわけですから皆んな違う指で止まっています。

次に、１ケタの数を思って、その数だけまた好きなように移動します。必ず隣の指に移動すること。一つ飛ばし等してはダメよ。 それが済んだら、もう一度今と同じ数だけ好きなように移動します。
最後に小指の方に向かって２つだけ移動します。そうするとなんと！全員が薬指の上で止まっています！

これ、算数のマジックですね。ちょっと考えてみると、必ず薬指に止まるんですね。
ヒントは人差し指と薬指、そして2という数です。

２次関数のグラフの原点に近い所をとんがって描いちゃう生徒がいつも少しいます。
どんなに拡大していってもお椀の底のようになめらか〜にまあるいんだよ。

本当は自分の手で計算して方眼紙にプロットするのが実感がつかめて一番良いんだけど、ここではパソコンで描いたグラフを見せちゃいます。
左から右に原点付近をどんどん拡大していってます。横軸の目盛りに注目。 どこまでも滑らかですね！